أكبر عامل مشترك يتم الوصول إليه من خلال عدة طرق حيث أن المقصود بالعامل المشترك الأكبر هو العدد المشترك في جميع الأعداد عند تحليلها، يعتمد استخراج العامل المشترك في الأساس على جدول الضرب لذلك يجب قبل الإجابة على أي مسائل رياضية حفظ الجدول حتى يتم تحليل الأعداد المطلوب معرفة العامل المشترك بينهم بسهولة، الجدير بالذكر أنه يوجد اكثر من طريقة لمعرفة هذا العامل سننوه عنها في المقال بالتفصيل.
تعريف العامل المشترك
لمعرفة إيجاد أكبر عامل مشترك يجب معرفة المقصود به:
· العامل المشترك لأي عددين هو اكبر عدد يمكن استخدامه لقسمة أي عدد عليه دون وجود باق.
· الجدير بالذكر أن هناك طرق مختلفة ومتنوعة لإيجاد العدد المشترك الأكبر لأي عدد أو مجموعة من الأعداد.
· يعتمد تحليل الأعداد على جدول الضرب وذلك لتحليل كل عدد لعوامله الأولية.
· يتم اختيار العدد المشترك بين العددين بعد تحليلهما ليكون هو العامل المشترك الأكبر والذي يرمز له ع.م.أ.
· الجدير بالذكر عند قسمة العدد على العامل المشترك الأكبر ينتج عدد صحيح مما يجعل الناتج صحيح.
إيجاد العامل المشترك الأكبر بالعوامل الأولية
اكبر عامل مشترك يمكن الوصول إليه من خلال اتباع الخطوات التالية:
المثال الأول
لنفترض أن لدينا رقم 10 ورقم 21 لإيجاد العامل المشترك الأكبر بينهما نبدأ في تحليل كل عدد على حدة.
حيث أن رقم 10 عند تحليله يعطي 1- 2- 5- 10 بينما عند تحليل العدد 21 يعطي 1-3-7- 21.
نلاحظ أن العدد المشترك بين العددين بعد تحليلهما هو رقم 1 وهو أيضًا العامل المشترك الأكبر بين العددين.
المثال الثاني
أوجد العامل المشترك الأكبر للعددين 15 ، 10
نقوم بتحليل العدد رقم 10 حيث نحصل على 1-2-5-10 ثم نحلل العدد رقم 15 ليعطينا 1-3-5-15.
الجدير بالذكر أن هناك أكثر من عامل مشترك بين العددين هما 1-5 نختار أكبر عدد وهو 5 ليكون أكبر عامل مشترك ل 10، 15.
أكبر عامل مشترك
الحصول على العامل المشترك الأكبر يمكن شرحه من خلال ما يلي:
المثال الأول
لدينا مجموعة من الأعداد ( 4، 6، 1، 24 ) اكبر عدد هو 24 يمكن الحصول عليه عند ضرب رقمي 1، 24 مع أو ضرب رقم 6 ورقم 4 معا.
لذلك يطلق على رقم 24 العامل المشترك الأكبر لهذه الأعداد.
المثال الثاني
أوجد العامل المشترك الأكبر للأعداد 180- 225- 270
نعتمد في استخراج العامل المشترك الأكبر على التحليل الأولي لكل عدد.
حيث نجد أن العوامل الأولية لرقم 270 هي ( 1، 2، 3، 5، 6، 9، 10، 15، 18، 27، 30، 45، 54، 90، 135، 270 ).
كما نحلل العدد 225 ليكون ( 1، 3، 5، 9، 15، 25، 45، 75، 225 ).
أخيرًا نحلل العدد رقم 180 (1، 2، 3، 4، 5، 6، 9، 10، 12، 15، 18، 20، 30، 36، 45، 60، 90، 180).
نحدد الأرقام المشتركة بين الثلاث أعداد لنجد أنها ( 1-3-5- 9- 15- 45).
نختار الرقم 45 حيث أنه أكبر عامل مشترك بينهم.
طرق إيجاد العامل المشترك الأكبر
من خلال ضرب العوامل المشتركة كما سنوضح فيما يلي:
المثال الأول
أوجد العامل المشترك للعددين 30 ، 50
نحلل الرقم 30 إلى عوامله الأولية 2-5-3 ثم نحلل الرقم 50 كذلك للعوامل الأولية ليكون 2-5-5.
نلاحظ وجود رقمين مكررين لكل عدد هما 5-2 حاصل ضربهما 10 وهو أكبر عامل مشترك بين العددين 30،50.
الجدير بالذكر أن استخدام التحليل سنصل لتلك النتيجة أيضَا.
المثال الثاني
أوجد العامل المشترك للأعداد 24- 36 -18
نبدأ بتحليل كل عدد بشكل منفصل حيث أن 24 تحليله ( 1-2-3-4-6-8-12-24 ).
ثم نحلل العدد 36 ( 1-2-3-4-6-9-12-18-36 ).
بعد ذلك نقوم بتحليل العدد رقم 18 ( 1-2-3-6-9-18 ).
من خلال ملاحظة تحليل كل عدد إلى عوامله الأولية، سنجد أرقام مشتركة بينهم وهي ( 1-2- -6 -3).
العدد الأكبر بين الأعداد المشتركة هو رقم 6 وهو اكبر عامل مشترك للثلاثة أعداد.